Dérivée de l'inverse d'une fonction

Théorème
Si \(v\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) de `\mathbb{R}`, et ne s'annulant pas sur \(I\), alors la fonction \(\dfrac{1}{v}\) est dérivable sur \(I\) et \(\boxed{\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}}\).

Exemple
On considère la fonction `f` définie sur `\mathbb{R}` par \(f(x)=\dfrac{1}{3x^2+5}\).
Pour tout réel \(x\), \(f(x)=\dfrac{1}{v(x)}\) avec \(v(x)=3x^2+5\). \(v\) est dérivable et ne s'annule pas sur `\mathbb{R}`. Pour tout réel \(x\), \(v'(x)=6x\).
Ainsi, \(f\) est dérivable sur `\mathbb{R}` et, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=-\dfrac{v'(x)}{(v(x))^2}=-\dfrac{6x}{(3x^2+5)^2}\).